非遍历性：玩家怕方差，庄家爱方差
我们已经讲过很多关于复利的原理和方法，这一讲咱们说一个反鸡汤：积累复利不是你懂道理就行。
我曾经拥有过 16 个比特币。那是在 2013 年买的，我记得当时是 700 多美元一个。如果我能拿到 2025 年，单价超过了 10 万美元，那可就是 160 万美元……
但正如你能想到，我没拿住。我拿了可能不到一个月，它不但没涨反而跌了一点点，我就直接给卖了。我选择了更刺激的游戏，拿那笔钱去买了股票期权，结果又失败，最后直接清零了。
我跟好几个人说过这番经历，并没有人笑话我。因为大家都有同感：没有人能拿住。
2015 年底，比特币大约才 300 美元。如果你那时候买下，拿到今天的确是一笔巨款。但你经历的是什么呢？
2017 年底，比特币就已经到了 19,000 美元。你能面对 60 倍的收益不卖吗？
2018 年底，比特币暴跌到 3,200 美元。如果你前一年真没卖，这时候能不后悔吗？
2021 年底，价格达到 69,000 美元。如果你曾经为没卖而后悔，现在又是什么滋味呢？
2022 年底，价格又跌回到了 15,000 多美元……然后就这样涨涨跌跌：2025 年 10 万美元、2026 年又跌回到 6 万多美元……
只有两种人能拿住这么长时间：一种是被关进监狱没有办法交易的人，另一种是自己钱太多、根本用不上那笔钱所以毫不在意的人。
这一讲说的思维工具叫「非遍历性（non‑ergodicity）」。它告诉你为什么后一种人最适合做投资 —— 以及适合应对其他乘法风险 —— 以及如果你不是那种人，你该怎么办。
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很多炒股高手的年化收益率都超过 15%，但是世界上没有任何一个基金敢向你承诺每年至少 15% 的收益率。长期看也许涨了这么多，但中间的过程是有时候涨、有时候跌。用概率论的语言说，收益率 有很大的「方差」。
阻碍你积累复利的因素只有两个：一个是最初的本钱，一个是方差。
要理解这一点，咱们做一个思想游戏。这是一个简单的掷硬币赌局，硬币正反面的概率都是50%，游戏要求玩 100 把：每一把如果掷出正面，你的总财富就增加50%；如果是反面，你的总财富就减少40%。请问你要不要玩？
简单的概率论告诉你每一把的数学期望是 0.5 × (+50%) + 0.5 × (-40%) = +5%。这是一个正的收益，谁能说不玩呢？
好，现在你带着100万进场了。我们假设你的运气不好也不坏，正好有一半时候掷出正面，一半反面：
第一次，正面，你的钱变成了 100 × 1.5 = 150万。
第二次，反面，你的钱变成了 150 × 0.6 = 90万。
第三次，又是正面，90 × 1.5 = 135万。
第四次，反面，135 × 0.6 = 81万。
……你一看不对啊！每次经历一正一反，你的财富就变成了原来的 1.5 × 0.6 = 0.9 倍，也就是缩水了10%！这样连玩100次，你的100万本金会变成不到1万块。你破产了。
可你仔细想，还是不对！这明明是一个每次期望值都是 +5% 的游戏，按理说赌场也是输钱的，那到底谁赢钱了呢？
答案是那些运气特别好的人。
想象有10万人同时玩这个游戏，第一把之后，有5万人的财富变成了150万，有5万人变成了60万。这10万人的总财富确实增加了5% —— 这个 +5% 的期望值，是这10万人的「集合平均 (ensemble average)」，有时候翻译成「系综平均」。很多轮下来，10万人中会有一些运气特别好的人，赢了很多次、输了很少次。这些人将拥有天量的财富，所以集合平均总是在增长。
但不幸的是，作为一个运气一般的普通人，你的财富却是不涨反降。这是因为个体所经历的是「时间平均 (time average)」。从数学上来讲，你的成长系数是涨跌次数的几何平均值。也就是 1.5 × 0.6，再开根号 —— 很遗憾这个数小于 1。
作为个体，你在这个乘法游戏中沿着时间线一步一步往下走，只要偶尔出现几次连续的亏损，你的本金就会遭到毁灭性打击，可能账户直接就清零退出游戏了……这叫遭遇「吸收壁（absorbing barrier ）」。
你的作用是给「集合平均」增加了一个分母，而分子上的贡献是由那些运气特别好的人提供的。
简单说，如果一个系统的集合平均等于个体的时间平均，我们就说这个系统具备「遍历性（ergodicity）」；而如果整体的期望值不能代表个体的长期命运，那就是「非遍历性（non-ergodic）」系统 。
比如你每天上班的路上有时候会遭遇大堵车，有时候却是一路绿灯，但只要经历的次数多，你的经历跟其他人的经历都差不多，这就是「遍历性」系统。这个城市的平均通勤时间对你是个很有意义的数字。
而对于像投资那样的非遍历性系统，平均值可就意义不大了 —— 你没必要跟马斯克一起算平均财富。
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遍历性这个概念在统计学上早就不新了，但是在经济学上的应用却绝非常识。就在 2016 年，伦敦数学实验室的物理学家奥勒·彼得斯（Ole Peters）还专门提出 [1]，传统经济学常常未经证明就默认 人类经济活动是遍历的，使得很多人可能过分乐观，盲目上场，不知一个期望值为正的游戏里，却有很多单一玩家必然走向破产。
纳西姆·塔勒布（Nassim Taleb）也专门在《非对称风险》（Skin in the Game: Hidden Asymmetries in Daily Life）一书中，对非遍历性风险提出过警告 [2]。
简单说，数学期望值是上帝视角的平均；时间平均才是凡人视角的命运。
可能这些警告听起来有点抽象，我跟你说个现实的事儿。无论哪个国家的股市里，绝大多数散户的长期收益，都跑不过大盘指数。不仅个体跑不赢大盘，就连很多华尔街的专业投资基金，都很难打败标准普尔指数 [3]。
有些股评家会说这是因为散户不懂技术分析、不懂价值投资、心态不好云云 —— 但真正的机制是数学：股市是一个典型的非遍历系统。大盘指数，比如标普500，是个集合，它享受所有重要股票的集合 平均，而且它还有一个定期剔除垃圾股、纳入优质股的机制。而散户手里只有那么几只股票，你经历的是时间平均 [4]。
这是一个相当反直觉的现象，但它与前面那个掷硬币实验是一个道理。
那作为个体，我们怎么应对非遍历性风险呢？咱们说四个策略。
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第一个策略是减少交易次数。
这就是那个监狱里的比特币持有者的策略。如果你真有信心，要想锁定长期收益，你就得把它拿住别动。
加州大学的金融学家布拉德·巴伯（Brad Barber）和特兰斯·奥迪恩（Terrance Odean）分析了六万多个散户账户，发现交易越频繁的散户，收益率越低 [5]。而那些买入之后就因为各种原因（比如忘 了密码）再也没看过账户的人，反而平均收益最好。
这背后有心理上的因素：频繁交易的人特别容易因为情绪波动而追涨杀跌。这里还有股市涨落自身特点的原因：大部分股票的长期收益，其实是由极其稀少的几个暴涨日贡献的，要想锁定那几天的收益，你就得一直拿着……
但在最根本上，这还是因为股市的非遍历性。你每多交易一次，就是多投掷了一次硬币：你交易的次数越多，你的结局就越接近于时间平均，你就是在增加撞向吸收壁的概率；还不如交易次数少，没准儿真蒙对了。
江湖险恶，本钱小没有资格乱折腾。看准了就赌定，用时间磨平剧烈的方差，是穷人的生存智慧 —— 这大约就是长期主义的数学原理，也是「忠诚」作为一种美德的适用范围。
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第二个策略是塔勒布著名的「杠铃策略（barbell strategy）」[6]，也就是把 90% 的资产放在风险极低的领域，比如现金、国债和无杠杆的不动产；把 10% 放在激进的高风险领域捕捉重尾红利。
杠铃策略主张忽略那些中等风险的项目，只要两端：要么低风险，要么高风险。它的好处是既保留了暴富的可能性又确保永远不触碰吸收壁。
你可能问，这个策略的科学性在哪里？其实杠铃策略就是我们上一讲说的「凯利公式」的一种变体。
前面说的那个掷硬币思想实验，最大的问题就是每一次你都 all-in。杠铃策略要求你每次只下注一个微小的比例，凯利公式也恰恰是反对 all-in。咱们不妨算一算：这个游戏中概率 p = 0.5，赔率 b = 50 / 40 = 1.25，套入凯利公式，最佳下注比例是 f* = 10% —— 完全符合杠铃策略。
你猜怎么着？2011 年，前面提到的那个奥勒·彼得斯在理论上证明，如果你每一把都采用凯利公式下注，你就可以打败非遍历性 [7]！
听着挺简单，那可是学术界的一件大事。但咱们直观理解，其实杠铃策略和凯利公式的数学作用，都是把交易的方差缩小。只要你下注比例小、不 all-in，就有类似的效果。比如你可以每个月从工资 里拿出固定的一小笔钱来投入股市，塔勒布和凯利都不会反对。
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第三个策略是成为庄家。
既然大多数散户都跑不赢大盘指数，那你为什么不做大盘指数呢？你为什么不享受集合平均呢？
当然自己布局的前提是你很有钱。咱们想想风险投资人（VC）和创业者的关系 [8]。
创业公司是个高度非遍历性的领域。如果你是个个体创业者，只能押一家公司，甚至押上信誉、房产 and 全部现金，而你会有极大的可能性创业失败。但 VC 的模式是分散投资几十上百家企业：就算多数归零，只要有一两家成功乃至于成为“独角兽”，那就足以覆盖其他家的损失，还有丰厚盈余。
VC 不但不怕个别项目的死亡，他们反而渴望极端的方差！他们希望你冒险。平庸的公司对 VC 毫无意义。
这就如同你是一个踢足球的孩子的家长，你恐怕不太希望孩子的成长路线有很大的方差：你希望孩子平安就好。哪怕不出人头地，也别受伤落下残疾。但如果你是一家青训足球学校，你会希望你队里的方差越大越好：哪怕 100 个人里面有 99 个都受伤退役，只要有一个能成为超级球星你就赚翻了。
个体玩家怕方差，而庄家爱方差。
这是巨大的不对称性。不过作为普通人，你可以用定投指数基金的方法选择跟庄家站在一起。
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第四个策略是「风险共担（Risk Pooling）」[9]。既然个体从非遍历性中吃亏，而庄家能从非遍历性中受益，那我们为什么不把个体联合起来，成立一个集体的庄家呢？
这其实就是保险。对于保险公司来说，你房屋着火的数学期望肯定比它收的保费要少，所以保险生意是赚钱的。那你为什么还是买保险？根本原因就在于：房屋着火这种事对你个人来说，是一个 all-in 的风险。
重大灾难是非遍历性的，这就是保险公司存在的合理性。
其实风险投资也可以理解成一种保险。创业者大胆地去做生意，赔钱赔的也是 VC 的钱，相当于庄家在为你兜底。
这也正是「有限责任公司」这种制度的伟大之处！生意人大胆去闯，赢了大家分钱；输了，你只要承担有限责任就行，不用牵连家人不必倾家荡产，更不至于去当奴隶……
再往深了说，人类社会中的家庭、宗族、各种互助网络都可以理解为用合作把世界“强行遍历化”。
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总而言之，乘法世界中充满了非遍历性风险，它对个体很不利但是对庄家很有利，于是个体就必须少投入、少操作、尽量控制方差，最好能联合起来用结构对抗命运，用规模换稳定。
最后请允许我吐槽一句。因为非遍历性风险的高度不对称性，成熟的社会都是尽量保护个体，让机构去承担风险。
比如在有些国家，你买房，是等房子先盖好、你住进去之后才开始还贷款。如果在还贷期间房价暴跌，而你因为失业之类的原因实在还不起了，你还可以申请个人破产，直接走人，获得一个重新开始的机会。
可是有的地方，却是保护银行 and 开发商，把风险下移给老百姓：房子还没盖好你就得开始还贷，万一房子烂尾了你还得继续还贷；而且不管未来发生什么，这笔债永远跟着你……我知道的现代思维工具里可没有主张这么干的。
注释
[1] Peters, Ole, and Murray Gell‑Mann. 2016. “Evaluating Gambles Using Dynamics.” Chaos 26(2): 023103.
[2] 精英日课第二季，《利益攸关》8. “遍历性” and “尾部风险”
[3] John Paulos, A Mathematician Plays The Stock Market, 2004. 另见《精英日课》第二季，数学题：为什么绝大多数投资者都会输给市场
[4] Bessembinder, Hendrik. 2018. “Do Stocks Outperform Treasury Bills?” Journal of Financial Economics 129(3): 440–457.
[5] Barber, Brad M., and Terrance Odean. 2000. “Trading Is Hazardous to Your Wealth: The Common Stock Investment Performance of Individual Investors.” Journal of Finance 55(2): 773–806.
[6] Taleb, Nassim Nicholas. 2012. Antifragile: Things That Gain from Disorder. New York: Random House.
[7] Peters, Ole. “Optimal leverage from non-ergodicity.” Quantitative Finance 11, no. 11 (2011): 1593-1602.
[8] Hall, Robert E., and Susan E. Woodward. 2010. “The Burden of the Nondiversifiable Risk of Entrepreneurship.” American Economic Review (Papers & Proceedings).
[9] Cronk, Lee, and Athena Aktipis. 2021. “Design Principles for Risk‑Pooling Systems.” Nature Human Behaviour 5: 825–833.